Observaciones y Aplicaciones Del Método De Gauss.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

X + Y -Z =1

3X +2Y -Z =1

5X +3Y +4Z =2 

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3X + 2Y +Z =1

-3X -3Y +3Z = -3 

          -Y +4Z = -2

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

_{5X +3Y +4Z = 2}

_{-5X -5Y +5Z =-5}

       _{-2Y +9Z =-3}

   _{X + Y -Z = 1}

      _{-Y +4Z = -2}

      _{-2Y +9Z =-3}

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término eny.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

_{-2Y + 9Z = -3}

 _{2Y - 8Z  = 4}

          _{Z= 1}

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

X   +Y -Z = 1 

       -Y +4Z=-2

               Z=  1

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 · 1 = −2   y = 6

x + 6 −1 = 1     x = −4

APLICACIÓN:

Este método sirve para:

- Hallar una matriz escalonada reducida por filas o una matriz.

- Hallar la matriz inversa.

-Analizar los sistemas de ecuaciones lineales que involucran una o más constantes cuyos valores para el cual el sistema tiene única solución, tiene infinitas soluciones o no tiene solución.  

OBSERVACIONES:

El método de Gauss Jordan es una variación del método de Gauss. La principal diferencia consiste en que el método de Gauss, cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz escalonada reducida por filas.