Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de Ingeniería

DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS 

Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema crítico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios deconstrucción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero Civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboración de prefabricados. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava, Arena y Agua

Mezcla	Mano de Obra	Grava	Arena	Agua
1	3	20	10	10
2	4	25	15	8
3	7	40	20	10
4	20	50	22	15

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg Grava, 970 kg de Arena y 601 litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día?

SOLUCION: La cantidad total producida de cada mezcla esta restringida al total de recursos disponibles encada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla.

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504Y

Así sucesivamente con los demás recursos.

20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de gauss. Aplicando la eliminación Gaussiana con los pasos anteriores se tiene que:

 X1=10

X2=12

X3=18

X4=15

Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla están dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un día de actividad esta dada por:

P = p1x1 + p2x2 +p3x3 + p4x4

Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro.

MEZCLA	GANANCIA
1	1000
2	700
3	1100
4	400

P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema. Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa