Metodo

Método de Gauss-Jordán

 Es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones (matriz de coeficientes y de términos independientes), se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante operaciones elementales de fila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. La nueva matriz hallada puede ser una matriz identidad o una matriz escalonada reducida por filas.

La matriz de coeficientes no necesariamente debe ser una matriz cuadrada, puede ser de cualquier tipo Con este procedimiento logramos las soluciones de cada incógnita sin emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución de las mismas. En el método de Gauss, a partir de la última ecuación, se sustituye su solución en la anterior, realizando este proceso con todas las ecuaciones, y se encuentra las soluciones. El método de Gauss-Jordán permite encontrar las soluciones directamente

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordán.

    
Solución:

   a)    Escribimos la matriz aumentada del sistema.

  

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para esto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo. Notación para las operaciones elementales en renglones

 b)  Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.

    

    

     C)   Interpretación del resultado. La última matriz escalonada reducida indica que: La solución del sistema es x = -1, y=2, z = 0  

Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales y matrices

  Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (SEL) y coeficientes en un cuerpo K (como los reales o los complejos) es   

                                                

     Donde                                    

                                               

      A los elementos ai , j se les denomina coeficientes del SEL y a los bi términos independientes.

  

      Un ejemplo de un SEL de dos ecuaciones y dos incógnitas es

                                                 

      El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como

                                                 

     Donde

                                 

    Llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos independientes a b y matriz incógnita a X.

     Definimos la matriz ampliada (o completa) del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a la izquierda y la b a la derecha, es decir

                                  

      Ejemplo:

                        

      Que es una Matriz

     Son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ´ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

     Matriz escalonada reducida por filas:

•     Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz (parte de abajo).
•       El primer número (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista de ceros es 1.  
•       Si dos filas consecutivas no consisten de ceros, entonces el primer 1 en la fila interior está más a la derecha que el primer 1 de la fila superior.
•       Cualquier columna que contenga el primer 1 de una fila tendrá ceros en los demás lugares.

      Ejemplos de matrices escalonadas por filas:

             

    Una matriz está en forma escalonada si cumple las primeras tres condiciones de la definición anterior.

    Ejemplos de matrices en forma escalonada:

          

      MATRIZ INVERSA

     Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.

    Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

     Método de Gauss-Jordán
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

       

  

La matriz inversa de A es