Observaciones y Aplicaciones Del Método De Gauss.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

X + Y -Z =1

3X +2Y -Z =1

5X +3Y +4Z =2 

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'₂ = E₂ − 3E₁

3X + 2Y +Z =1

-3X -3Y +3Z = -3 

          -Y +4Z = -2

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'₃ = E₃ − 5E₁

_{5X +3Y +4Z = 2}

_{-5X -5Y +5Z =-5}

       _{-2Y +9Z =-3}

   _{X + Y -Z = 1}

      _{-Y +4Z = -2}

      _{-2Y +9Z =-3}

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término eny.

E''₃ = E'₃ − 2E'₂

_{-2Y + 9Z = -3}

 _{2Y - 8Z  = 4}

          _{Z= 1}

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

X   +Y -Z = 1 

       -Y +4Z=-2

               Z=  1

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 · 1 = −2   y = 6

x + 6 −1 = 1     x = −4

APLICACIÓN:

Este método sirve para:

- Hallar una matriz escalonada reducida por filas o una matriz.

- Hallar la matriz inversa.

-Analizar los sistemas de ecuaciones lineales que involucran una o más constantes cuyos valores para el cual el sistema tiene única solución, tiene infinitas soluciones o no tiene solución.  

OBSERVACIONES:

El método de Gauss Jordan es una variación del método de Gauss. La principal diferencia consiste en que el método de Gauss, cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz escalonada reducida por filas.

Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de Ingeniería

DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS 

Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema crítico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios deconstrucción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero Civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboración de prefabricados. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava, Arena y Agua

Mezcla	Mano de Obra	Grava	Arena	Agua
1	3	20	10	10
2	4	25	15	8
3	7	40	20	10
4	20	50	22	15

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg Grava, 970 kg de Arena y 601 litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día?

SOLUCION: La cantidad total producida de cada mezcla esta restringida al total de recursos disponibles encada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla.

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504Y

Así sucesivamente con los demás recursos.

20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de gauss. Aplicando la eliminación Gaussiana con los pasos anteriores se tiene que:

 X1=10

X2=12

X3=18

X4=15

Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla están dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un día de actividad esta dada por:

P = p1x1 + p2x2 +p3x3 + p4x4

Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro.

MEZCLA	GANANCIA
1	1000
2	700
3	1100
4	400

P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema. Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa

Aplicaciones del Álgebra en la resolución de problemas en otras Ramas de la Ingenieria

Las aplicaciones del Álgebra Lineal en la ciencia, la ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física,  ingeniería, química, biomédica, gráficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Álgebra Lineal.

La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Álgebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Álgebra Lineal. Esto le da un carácter de popularización a la matemática, que con el advenimiento de la computadora y su inmensa capacidad de cálculo, rapidez, versatilidad, entre otros, le da la posibilidad de simular y verificar soluciones de modelos matemáticos propios de la ingeniería y en especial de la Ciencias.

Los elementos del Álgebra Lineal son también esenciales para poder establecer relaciones entre problemas de asignación de recursos:

• Cálculo de intensidades en diferentes circuitos.
• Vectores se podrá operar y explotar sus propiedades ya sea para la física más adelante o para tópicos propios de la ingeniería.
• Con la teoría de matrices y determinante se darán elementos para la ingeniería de software, computación gráfica y robótica.
• Transformaciones lineales y los vectores y valores propios se podrá explotar efectos computaciones de traslados, rotación estiramiento, etc., de diferentes figuras, esto es, elementos para el procesamiento de imágenes y gráficas en computadoras.
• Teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo.
• Álgebra multi-lineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor.
• En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es pura mente algebraica.
• El álgebra lineal es utilizada para:
• El diseño estructural de edificios, en donde cada nodo de la estructura es un valor en la matriz que así puede ser de nxm.
• La planeación, como en ingeniería de sistemas en donde cada variable se coloca en un elemento de la matriz.
• Tiene aplicaciones en geotecnia y en mecánica de fluidos.
• En la administración y economía para determinar: ingresos, ventas, pérdidas, etc.
• Solucionar mallas con resistencias Eléctricas y redes nodos eléctricos.
• En la Electrónica es de vital importancia para poder abordar el desarrollo de Parámetros Híbridos en un transistor, en donde se involucran Impedancias, Entradas, salidas, Transiciones, circuitos equivalentes.
• Abordar temas de Diseño---Soluciones---Visión de un determinado circuito lógica desarrollada a         través de procesos matemáticos.
• Teoría de la Información.
• Teoría de Códigos.
• Ecuaciones Diferenciales.
• Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.
• El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.
• Para optimizar cultivos (agricultura).
• Genética de poblaciones (ganadería).
• Para sembrar en forma racional (por ejemplo tres variedades de soja en 9 parcelas- matriz 3x3).
• Para resolver hipótesis estadísticas en análisis inferencial (diferencia de rindes de cosecha).
• En bioingeniería (desarrollo de nuevas cepas o variedades transgénicas).
• Para estudiar la evolución de sembrados (por cadenas de Markov).
• Uno de los buscadores más utilizados, es el Google. Está basado fundamentalmente en Álgebra Lineal y por supuesto contiene también cuestiones probabilísticas.

La aplicación del Álgebra Lineal que hace el ingeniero no es inmediata. Exige la utilización creativa del conocimiento y de software, lo cual demanda dedicación; aún más cuando la evolución de la matemática está encaminada hacia su aplicación e interrelación con otras ciencias o áreas del saber. El álgebra lineal se desarrolló fundamentalmente para resolver situaciones de la vida cotidiana. Sin esta valiosa herramienta muchas cosas que hoy son necesarias para llevar nuestro ritmo de vida, no estarían aquí.

Aplicaciones del Álgebra a la Informática

Como sabemos el campo de las matemáticas tiene amplias aplicaciones, pero enfocándonos más en el álgebra, esta ha tenido más aplicaciones en el campo de la Informática de la que las personas se dan cuenta.

Interfaz Gráfica de Usuario:

Es un programa informático que actúa de interfaz de usuario, utilizando un conjunto de imágenes y objetos gráficos para representar la información y acciones disponibles en la interfaz. Su principal uso, consiste en proporcionar un entorno visual sencillo para permitir la comunicación con el sistema operativo de una máquina o computador.

Podemos tomar como ejemplo la creación de ventanas de Windows y hojas de cálculo en Excel.

Modelado por Computadora:

Ya sea en 2D o 3D, todo lo que tenga que ver con generar imágenes, sea hacer una traslación (mover un objeto cierta distancia, en una dirección determinada), un cambio de escala (agrandar o disminuir), girarlo, voltearlo, entre muchas otras implica usar el álgebra, veamos un poco más en detalle 2 de estos casos.

Traslación: En 3D, el sistema de referencia homogéneo tendrá 4 dimensiones, por lo que la traslación del punto

V= (x, y, z,1) quedará indicada como:

 

 

 

Cambios de escala en 3D: 
 Dentro de un espacio de referencia los objetos pueden modificar su tamaño relativo en uno, dos, o los tres ejes. Para ello se ha de aplicar la matriz de escalado, que viene dada por :

De esta forma, el cambio de escala del punto V

= (x, y, z, 1) en el sistema homogéneo quedará indicado por :

Motores de búsqueda: 
Ya sea el buscador de Google o muchos otros, implementan matrices para que las búsquedas sean más eficientes, además de en otras facetas como las sugerencias al usuario sobre qué páginas visitar, en respuesta a ciertas palabras clave, que han sido introducidas.

El algoritmo usado por 1era vez en Google recibe el nombre de “PageRank”  fue creado por Sergei Brin y Larry Page.

 

Aunque no sólo se usan matrices sino también grafos (conjuntos de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.  Son objeto de estudio de la teoría de grafos).

Inteligencia Artificial:

Tomemos el caso de los sistemas expertos, que son un software que imita el comportamiento de un experto humano en la solución de un problema, además de poder almacenar conocimientos de expertos para un campo determinado y solucionar un problema mediante deducción lógica de conclusiones. Dichos programas utilizan vectores en algoritmos de aprendizaje de máquina, con lo que al final pueden ayudar al usuario a tomar las decisiones correctas para cierto fin.

También se aplica en esta el álgebra relacional que busca definir operaciones en relaciones y en suma tiene mucho que ver con bases de datos relacionales.

Criptografía:
Siendo esta la ciencia que usa las matemáticas para encriptar y desencriptar datos, el objetivo de esta es convertir una estructura de texto en otra distinta para que no se pueda reconocer fácilmente.

El álgebra lineal es usualmente aplicada en esta ciencia siendo la base de varios sistemas de cifrado como Hill, que recibe este nombre por su inventor, Lester S. Hill en 1929 y fue el primer sistema criprográfico polialfabético que era práctico para trabajar con más de tres símbolos simultáneamente.

Funcionamiento:
Para encriptar se elige una matriz de claves y se le aplica a un texto.
Para desencriptar se necesita aplicar la matriz inversa.

Al final el sistema complica la decodificación dependiendo de qué tan grande es la matriz, logrando que si esta es lo suficientemente extensa, obtener el código por fuerza bruta sea muy difícil, necesitándose aunque sea conocer una parte del mensaje para tratar de encontrar cual fue la matriz usada.

Actualmente esto se usa en el cifrado de archivos, asegurando que si un hacker logra hacerse con algún archivo, tenga que quitar el cifrado para acceder a los datos.

Metodo

Método de Gauss-Jordán

 Es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones (matriz de coeficientes y de términos independientes), se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante operaciones elementales de fila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. La nueva matriz hallada puede ser una matriz identidad o una matriz escalonada reducida por filas.

La matriz de coeficientes no necesariamente debe ser una matriz cuadrada, puede ser de cualquier tipo Con este procedimiento logramos las soluciones de cada incógnita sin emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución de las mismas. En el método de Gauss, a partir de la última ecuación, se sustituye su solución en la anterior, realizando este proceso con todas las ecuaciones, y se encuentra las soluciones. El método de Gauss-Jordán permite encontrar las soluciones directamente

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordán.

    
Solución:

   a)    Escribimos la matriz aumentada del sistema.

  

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para esto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo. Notación para las operaciones elementales en renglones

 b)  Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.

    

    

     C)   Interpretación del resultado. La última matriz escalonada reducida indica que: La solución del sistema es x = -1, y=2, z = 0  

Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales y matrices

  Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (SEL) y coeficientes en un cuerpo K (como los reales o los complejos) es   

                                                

     Donde                                    

                                               

      A los elementos ai , j se les denomina coeficientes del SEL y a los bi términos independientes.

  

      Un ejemplo de un SEL de dos ecuaciones y dos incógnitas es

                                                 

      El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como

                                                 

     Donde

                                 

    Llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos independientes a b y matriz incógnita a X.

     Definimos la matriz ampliada (o completa) del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a la izquierda y la b a la derecha, es decir

                                  

      Ejemplo:

                        

      Que es una Matriz

     Son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ´ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

     Matriz escalonada reducida por filas:

•     Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz (parte de abajo).
•       El primer número (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista de ceros es 1.  
•       Si dos filas consecutivas no consisten de ceros, entonces el primer 1 en la fila interior está más a la derecha que el primer 1 de la fila superior.
•       Cualquier columna que contenga el primer 1 de una fila tendrá ceros en los demás lugares.

      Ejemplos de matrices escalonadas por filas:

             

    Una matriz está en forma escalonada si cumple las primeras tres condiciones de la definición anterior.

    Ejemplos de matrices en forma escalonada:

          

      MATRIZ INVERSA

     Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.

    Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

     Método de Gauss-Jordán
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

       

  

La matriz inversa de A es